本文共 2703 字，大约阅读时间需要 9 分钟。

一，什么是卷积

对于卷积的定义，如下：

连续形式

$$(f\times g)(n)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau$$

离散形式

$$(f\times g)(n)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )$$

先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。

然后再把g函数平移到n，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。

上述公式中有一个共同的特征：

$$n=\tau +(n-\tau )$$

对于这个特征，我们可以令$x=\tau$,$y=n-\tau$，那么x+y=n就是一些直线

如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：

二，通俗易懂的理解卷积

2.1 离散卷积的例子：丢骰子

问题：

把两枚骰子抛出去，两枚骰子点数之和为4的概率是多少

表示：

如果用f(x)表示第一枚骰子投出x（x∈{1,2,3,4,5,6}）的概率，g(y)表示第二枚骰子投出y（y∈{1,2,3,4,5,6}）的概率

结果：

两枚骰子点数加起来等于4的情况有：

f(1)g(3)和f(2)g(2)和f(3)g(1)

那么概率为P=f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)，符合卷积的定义，把他写成标准形式就是

$$(f\times g)(4)=\sum _{m=1}^{3}f(m)g(4-m)$$

2.2 连续卷积的例子：做馒头

问题：

如果有一家包子铺，会生产包子，但是包子会坏掉，那么一天后包子总共坏掉了多少？

表示：

假设包子生产速度是f(t)，对于包子铺一天生产的包子数量是

$${\int }_0^{24}f(t)dt$$ 假设腐败速度是g(t)，那么n个包子生产出来后，24小时会腐败个数 $$n\ast g(t)$$

结果：

一天后，包子总共腐败了：

$${\int }_0^{24}f(t)g(24-t)dt$$

2.3 卷积提取图像特征

卷积核和图像进行点乘（dot product), 就代表卷积核里的权重单独对相应位置的Pixel进行作用

这里我想强调一下点乘，虽说我们称为卷积，实际上是位置一一对应的点乘，不是真正意义的卷积

比如图像位置（1,1）乘以卷积核位置（1,1），仔细观察右上角你就会发现了

例如：对于一张图片

我们进行手动卷积

import cv2import torch,torchvisionfrom torchvision import transformsimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npfrom PIL import Imageimport mathpath="./1.jpg"img = Image.open(path)transform = transforms.Compose([transforms.ToTensor()])#totensor 得到（C*H*W)im = transform(img)def imshow(img):    npimg = img    plt.imshow(np.transpose(npimg,(1,2,0))) #chw->hwc    plt.show()k = torch.ShortTensor([[0,-4,0],[-4,16,-4],[0,-4,0]])stride=2 #步长padding=0 # 补0f = k.size(0) # 卷积核的形状channels = im.size(0) #输入的图片的通道数hin = im.size(1) #输入的图片的高win = im.size(2) #输入的图片的宽hout = math.floor((hin-f+2*padding)/stride+1) #输出的图片的高wout = math.floor((win-f+2*padding)/stride+1) #输出的图片的宽print("input[{},{}],output[{},{}]".format(hin,win,hout,wout))output=[]im = im.numpy()k = k.numpy()print("Waite for calculating...")# 自定义卷积，一一对应相乘for i in range(channels):    lines=[]    for j in range(hout):        line=[]        for n in range(wout):            a=[[im[i][j*stride][n*stride],im[i][j*stride][n*stride+1],im[i][j*stride][n*stride+2]],[im[i][j*stride+1][n*stride],im[i][j*stride+1][n*stride+1],im[i][j*stride+1][n*stride+2]],[im[i][j*stride+2][n*stride],im[i][j*stride+2][n*stride+1],im[i][j*stride+2][n*stride+2]]]            line.append(sum(sum(a*k)))        lines.append(line)    output.append(lines)oo=np.array(output)print(oo.shape)imshow(oo)

提取特征效果如下：

部分内容参考

转载地址：http://rbgwi.baihongyu.com/